آناليز پروفايل ميدان

- روش طيف زاويه اي :

نظريه اساسي روش طيف زاويه چنين بيان مي شود كه ميدان در صفحه داده شده را مي توان بصورت يك توزيع زاويه اي از امواج صفحه اي نشان داد . اگرچه چنين روشي براي برخي مسائل خاص بسيار پيچيده تر از روش انتگرالي است ، ولي بايستي در نظر داشته باشيم كه بعنوان مثال مسأله تعيين تفرق از يك جسم كروي و يا سيلندر نامحدود از طريق موج صفحه اي بسيار ساده تر حل مي شود . بنابراين با توصيف الگوي تابش از يك مبدل با استفاده از توزيع زاويه اي امواج صفحه اي كل مسأله تعيين ميدان متفرق شده از يك سيلندر يا كره حل مي شود .

طيف مكاني يك مبدل پيستوني :

يك مبدل پيستوني با شعاع a و در صفحه  در نظر مي گيريم . دامنه مؤلفه نرمال سرعت سطحي را با  نشان داده و فرض مي كنيم كه در سطح مبدل ثابت و در ساير نقاط خارج صفحه سرعت صفر مي باشد .

ر اين صورت چنين توزيع متقارن استوانه اي را مي توان با  بيان كرد كه در آن براي  و در ساير نقاط صفر است .

عبارت طيف زاويه اي پتانسيل سرعت را براي يك مبدل پيستوني مي توان به صورت زير بيان نمود .

كه در آن  . و حال از تقارن استوانه اي جهت تبديل نسبت ها استفاده مي كنيم :

(1.‌3)

بنابراين طيف زاويه اي را مي توان بصورت زير نوشت :

با استفاده از تابع سبل اين عبارت به فرم زير كاهش مي يابد :

كه  يك تابع استوانه اي سبل از مرتبه صفر مي باشد . همچنين اين تابع را مي‌توان بصورت تابع  از  شناسايي كرد . براي يك ديسك با شعاع a و تحريك شده بصورت يكنواخت نيز طيف بصورت زير مي باشد :

(2،3)

طيف زاويه اي در مختصات كروي :

جهت بدست آوردن عبارت طيف زاويه اي در مختصات كروي ، نياز به استفاده از تبديل نسبتها مي باشد :

(5.‌3)

نكته قابل ذكر اينكه وقتي  مي باشد  يك مؤلفه موهومي خواهد بود ، كه در اين صورت زاويه  نيز مختلط خواهد شد . بنابراين مي توان نشان داد كه :

(6.‌3)

در اين صورت تابع چگالي طيف بصورت زير تعريف مي شود :

(7.‌3)

كه  و  . بنابراين كانتورها بر روي صفحه مختلط  ، كه با استفاده از تئوري انتگرال Cauchyانتخاب شده است ، براي محور حقيقي از  و براي محور موهومي از0 تا  مي باشد . با در نظر گرفتن تابع سبل و روابط قبلي و  ، طيف زاويه اي را بصورت زير مي توان نشان داد :

(8.‌3)

كه در شكل (2.‌3) براي مقادير حقيقي  يعني مولفه هاي همگن نشان داده شده است.

پروفايل ميدان :

پروفايل فشار ميدان را مي توان با در نظر داشتن اينكه  متقارن استوانه اي است ، درك نمود . بنابراين در مختصات استوانه اي () ، فشار را مي توان بصورت  نوشت .

با تركيب روابط (6.‌3) و (8.‌3)و در نظر داشتن فشار فشار  چنين بدست مي آيد :

با استفاده از تابع سبل استاندارد عبارت بالا را مي توان به صورت زير نوشت :

با در نظر گرفتن  و  ، كه  قسمت موهومي  مي باشد ، عبارت بالا بصورت زير در مي آيد :

(9.‌3)

كه ترم هاي اول و دوم بترتيب معادل مولفه‌هاي همگن و ناپايدار مي باشند . ارزيابي اين معادله نشان مي دهد كه مؤلفه ناپايدار اثر بسيار مهمي بر روي پروفايل ميدان نزديك مبدل دارد ، و بعد از آن قابل صرفنظر است .

اين اثر براي مبدل با شعاع   در شكل 3.‌3 نشان داده شده است.

روش تبديل فوريه :

نكته قابل توجه و مهم در محاسبه پروفايل ميدان ، قابليت محاسبه پروفايل بر روي صفحه اي ديگر غير از صفحه داده شده از ميدان داده شده مي باشد . اين قضيه با حل دو مثال از مبدل ديسكي دايره‌‌اي كه بصورت يكنواخت تحريك مي شود ، بيان مي گردد .

رش آناليتيكال :

در صورت تعيين ميدان مؤلفه ناپايدار مي تواند حذف شود و محاسبه به جذب طيف زاويه اي بر روي صفحه معين و شناخته شده و تابع تبديل فركانس مكاني مي انجامد و سپس بهبود الگوي ميدان با تبديل معكوس بدست مي آيد . محاسبات با استفاده از تابع تبديل فركانس مكاني مبدل پيستوني آغاز مي شود .

(10.‌3)

(11.‌3)

S طيف زاويه اي و H تابع تبديل فركانس مكاني از صفحه  به صفحه z مي باشد . براي يك مبدل ديسكي با شعاع a  و تحريك شده بصورت يكنواخت ، بر روي صفحه z ، با استفاده از روابط (3.‌3) ، (10.‌3) و (11.‌3) داريم :

(12.‌3)

بنابراين تبديل فوريه معكوس z-D طيف فركانسي با استفاده از معادلات تبديل مختصات در (1.‌3) و در نظر داشتن تبديل فوريه معكوس z-D براي پتانسيل سرعت پايه ريزي مي شود . سپس مراحل ذكر شده در قسمت 1.‌1.‌3 با توجه به  اجرا شده و پتانسيل سرعت بصورت زير ساده مي شود .

(13.‌3)

حد بالاي انتگرال براي خارج نمودن و حذف مؤلفه ناپايدار از محاسبه انتخاب شده است . بنابراين فشار بصورت زير تعريف مي شود .

(14.‌3)

اين عبارت بر روي محور (on-axis) بصورت زير ساده مي شود .

(15.‌3)

شكل a.4.‌3 فشار ميدان ر ا بر روي محور و شكل b.4.‌3 با استفقاده از رابطه (14.‌3) نشان مي دهد.

تبديل فوريه دوبعدي عددي :

در ثال قسمت قبل تقارن استوانه اي مبدل ديسكي اجازه مي دهد تا پروفايل ميدان بصورت عددي از يك انتگرال ارزيابي شود .براي مبدلهاي پيچيده تر و بدون تقارن نيز مي توان از روش طيف زاويه اي استفاده كرد ، ولي بايستي از تبديل فوريه دوبعدي بهره جست . مطابق بخش 3.‌3.‌2 ، براي توزيع سرعت داده شده بر روي صفحه z=0 ، مراحل زير را بايد طي نمود :

(1) اعمال 2-DFFT سرعت بر روي صفحه منبع .

(2) ضرب اين عبارت در تابع تبديل H.

(3) گرفتن ZD-FFF معكوس .

اين مراحل بصورت زير خلاصه مي شود :

(16.‌3)

كه  و  تبديل فوريه و تبديل فوريه معكوس مي باشند .

روش هاي انتگرالي :

استفاده مستقيم از انتگرال ريلي به ارزيابي عددي انتگرال دوگانه بر روي سطح مبدل نياز دارد . يك روش محاسبه ساده تر در سال 1941 توسط Schoch با تبديل انتگرال سطحي ريلي به انتگرال خطي بر روي لبه مبدل ارائه شد . اين روش براي تحريك پيوسته و مبدل صفحه‌اي با هر شكل دلخواه ، جهت بدست آوردن توزيع فشار ميدان در محيط داخل و خارج مبدل استفاده مي شود .

شرط مرزي Rigid Baffle

در شكل 6.‌3 ، يك نقطه از ميدان يك مبدل صفحه اي با شكل دلخواه نشان داده شده است ، فرض مي شود تحريك بصورت يكنواخت و پيوسته سينوسي باشد بطوريكه مؤلفه نرمال سرعت سطح صورت  بوده و فشار بصورت  تعريف مي شود . فازور فار در نقطه مشاهده بصورت زير تعريف مي شود :

(17.‌3)

كه در آن المان سطحي  مي باشد .

(18.‌3)

كه   موقعيت مرزي و مقادير ديگر بر روي شكل (6.‌3) نشان داده شده است .

داريم ،  ، بنابراين (18.‌3) به فرم زير تبديل مي شود :

(19.‌3)

اين عبارت شامل دو ترم مي باشد موج صفحه اي () و ترم تفرق كه از محيط اطراف منشأ مي گيرد (موج لبه اي)

 و  متعاقباً يكروش مشابهي را در آناليز پاسخ ميدان مبدل دايره اي صفحه اي ارائه دادند كه كلي تر از آنها نشاندادند كه پتانسيل سرعت براي يك ديسك با شعاع a شكل (7.‌3) بصورت زير بدست مي آيد :

(20.‌3)

كه در آن  تابع پله هويساد مي باشد و  .

 در سال 1961 بر اساس نظريه Schoch به ارائه يك روش كلي تر براي مبدل صفحه اي با شكل دلخواه و تحريك شده با شكل موج دلخواه براي توليد سرعت  بر روي سطح مبدل (بدون apodization) پرداختند .

Cathignol و همكارانش يك روش ساده تر و عمومي تر براي آناليز ميدان حاصل از مبدلهاي مقعر و محدب پيشنهاد دادند . براي نقطه مشاهده نشان داده شده در شكل (6.‌3) فشار بصورت زير بيان مي شود :

(a21.‌3)

كه در آن  حداكثر فاصله نقطه مشاهده تا سطح مبدل براي مقدار داده شده  مي باشد .

براي نقاط خارج از مبدل فشار بصورت زير تعريف مي شود :

(b21.‌3)

شرايط مرزي سه گانه :

در اين قسمت اثر سه دسته از شرايط مرزي كه در قسمت قبل بيان شد ، بر روي پاسخ ميدان حاصل از تحريك پيوسته براي يك مبدل ديسكي كه با يك مرز نامحدود ايده‌آل احاطه شده است و سرعت در battle صفر مي باشد ، پرداخته مي شود . اگر نسبت امپدانس اكوستيكي battle به محيط انتشار بسيار بزرگ باشد يعني  ، بنابراين مطابق شرايط معتبر بودن انتگرال ريلي (مورد 1) سرعت كوچك خواهد شد . شرط دوم كه در قسمت قبل بررسي شد ، اين است كه فشار در كل صفحه مبدل مشخص شده است . اگر محيط احاطه كننده مبدل از لحاظ آكوستيكي نرم باشد ، يعني  ، فشا تقريباً بر روي اين مرز صفر مي باشد (مورد 2) . و بالاخره ، اگر در يك محيط يكنواخت نامحدود هيچ تشعشعي از سطح پشتي مبدل وجود نداشته باشد ، يعني ،  ، شرايط Kirchhoff يا ميدان آزاد وجود دارد .

تحت اين سه شرط ، Archer Hall و Gee نشان دادند كه در هر نقطه دلخواه انتگرال سطحي دوگانه براي پاسخ تحريك پيوسته يكنواخت يك مبدل ديسكي به يك عبارت انتگرال بعدي تبديل مي شود . بويژه ، براي موقعيت نشان داده شده در شكل (7.‌3) ، نشان داده شده است كه اگر مؤلفه نرمال دامنه سرعت سطحي مبدل  مي باشد ، فازور هاي فشار براي سه مورد بصورت زير مي‌باشد .

(22.‌3)

كه  و  مطابق جدول 1.‌3 مي باشد .

در حقيقت ، براي مورد (1) معادله ر مي توان از قرار دادن  در معادله (20.‌3) با توجه به  و  و مشتق گيري بدست آورد . معادله (22.‌3) بوضوح نشان مي دهد كه براي هر سه شرط ، معادله فشار شامل دو قسمت مي باشد : يك موج صفحه اي  كه فقط وقتي  مي باشد وجود دارد و يك موج لبه اي كه در هر جايي وجود دارد .

براي نقاط روي محور  مربع دامنه فشار بصورت زير بيان مي شود :

(23.‌2)

كه  . اين معادلات براي محاسبه دامنه هاي نرماليزه شده فشار  براي يك مبدل ديسكي با شعاع  در شكل 8.‌3 نشان داده شده است .

بخوبي ديده مي شود كه تفاوت ها در ناحيه نزديك مبديل قابل توجه مي شود .

با مثالهاي بيشتر مي توان نشان داد كه اين تفاوت ها در دامنه براي ميدان دور كوچكتر مي شود .

توريع فشار بر روي محور و خارج از محور

در شكل 9.‌3 تغييرات شعاعي دامنه هاي فشار براي سه موقعيت مختلف محور z نشان داده شده است . نزديك مبدل  بيم تقريباً استوانه اي شكل كه در لبه ديسك (مبدل) وسيع مي‌شود . در نقطه عبور از ميدان نزديك / ميدان دور () بيم بصورت قابل توجهي باريك مي شود و تا اينكه در  دامنه كاهش يافته و بيم پخش مي شود .

در شكل 10.‌3 كانتورهاي پيوسته محاسبه شده براي مبدل ديسكي با شعاع  نشان داده شده است . همانطور كه مشاهده مي شود ، نزديك موقعيت عبور از ميدان نزديك / ميدان دور ، عرض بيم حداقل مي شود و پس از آن كانتورها بطور مرتب تري ديده مي شوند .

روش پاسخ ضربه :

جهت بدست آوردن پاسخ ضربه پتانسيل سرعت براي هر موقعيت دلخواه از يك مبدل صفحه اي (تخت) بايستي روش outruki را دنبال كنيم . معادله براي تابع ضربه بصورت زير مي باشد :

آنالیز پروفایل میدان,